Question

9．如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線(xiàn)段EQ上點(diǎn)F處．
（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對(duì)相似三角形？（不需說(shuō)明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=$\frac{3}{5}$，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得∠A=∠B=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先證明MD=MQ，然后根據(jù)sin∠DMF=$\frac{DF}{MD}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根據(jù)△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．

解答 解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根據(jù)相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，
∴∠DQC=∠MDQ，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DQC=∠DQM，
∴∠MDQ=∠DQM，
∴MD=MQ，
∵AM=ME，BQ=EQ，
∴BQ=MQ-ME=MD-AM，
∵sin∠DMF=$\frac{DF}{MD}$=$\frac{3}{5}$，
∴設(shè)DF=3x，MD=5x，
∴BP=PA=PE=$\frac{3x}{2}$，BQ=5x-1，
∵△AMP∽△BPQ，
∴$\frac{AM}{BP}=\frac{AP}{BQ}$，
∴$\frac{1}{\frac{3x}{2}}=\frac{\frac{3x}{2}}{5x-1}$，
解得：x=$\frac{2}{9}$（舍）或x=2，
∴AB=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，在求AB長(zhǎng)的問(wèn)題中，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù)表示出一對(duì)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊列比例式．