Question

4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，點(diǎn)D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠DEB=∠CDB
（1）求證：直線ED是⊙O的切線；
（2）若EO=10，BC=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得出OD⊥AC，根據(jù)圓周角定理和∠DEB=∠CDB，得出∠DEB=∠CAB，進(jìn)一步得到ED∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得OD⊥ED，即可證得直線ED是⊙O的切線；
（2）證得△ACB∽△EDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∵∠DEB=∠CDB，∠CDB=∠CAB，
∴∠DEB=∠CAB，
∴ED∥AC，
∴OD⊥ED，
∴直線ED是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO，
∵∠DEB=∠CAB，
∴△ACB∽△EDO，
∴$\frac{AB}{EO}$=$\frac{BC}{OD}$，
∵AB=2OD，EO=10，BC=9，
∴$\frac{2OD}{10}$=$\frac{9}{OD}$，
解得OD=3$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半徑為3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，垂徑定理進(jìn)而圓周角定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．