Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=4cm，OC=3cm，動點E、F分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1厘米的速度運動．其中，點E沿OA向終點A點運動，點F沿BC向終點C點運動，過點F作FP⊥BC，交AC于點P，連結EP．用ⅹ表示動點運動的時間．
（1）分別寫出當動點運動了1秒、2秒及ⅹ秒時P點的坐標；
（2）試求△EPA面積y與x的函數(shù)關系式，并求出x為何值時，△EPA的面積最大；
（3）探索：當x為何值時△EPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況？寫出P點坐標．（注：正確寫出兩種情況的另加3分，三種情況的另加5分）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）首先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，根據(jù)時間即可求得BF的長，則CF即可求得，即求得P的橫坐標，把橫坐標代入直線AC的解析式即可求得縱坐標，得到P的坐標；
（2）利用時間x表示出OE的長，則AE即可求解，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)解析式；
（3）首先利用x表示出AP、EP和AE的長，然后分EP=AP、AE=EP、AP=AE三種情況列方程即可求得x的值，求得P的坐標．

解答：解：（1）設直線AC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=3 4k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 3 4

，
則直線AC的解析式是：y=-

3

4

x+3，
運動1秒時，BF=1，則CF=4-1=3，
把x=3代入y=-

3

4

x+3得：y=

3

4

，則P的坐標為（3，

3

4

）；
同理，運動2秒時P的坐標為（2，

3

2

）；
運動x秒時P的坐標為（4-x，

3

4

x）；

（2）當運動時間是x秒時，OE=x，則AE=4-x，
則y=

1

2

AE•

3

4

x=

1

2

（4-x）•

3

4

x，
即y=-

3

8

x²+

3

2

x，
當x=2時面積最大，最大值為

3

2

．

（3）∵PF∥AB，
∴

AP

AC

=

BF

BC

，即

AP

5

=

x

4

，
則AP=

5

4

x，
又∵EP=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，AE=4-x，
當AP=EP時，P應該在線段AE的中垂線上，則x=4-2x，
解得：x=

4

3

，則P的坐標是：（

8

3

，1）；
當AE=EP時，4-x=

(4-2x)2+( 3 4 x)2

，
解得：x=

128

57

或0（舍去），此時P的坐標是（

100

57

，

32

19

）；
當AE=AP時，4-x=

5

4

x，解得：x=

16

9

，此時P的坐標是（

20

9

，

4

3

）；
則x的值是：

4

3

或

128

57

或

16

9

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應用，求得P的坐標是關鍵．