Question

11．如圖，直線y=kx+2k-1與拋物線y=kx²-2kx-4（k＞0）相交于A，B兩點，拋物線的頂點為P．
（1）拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標(biāo)為（1，-k-4）（用含k的代數(shù)式表示）．
（2）無論k取何值，拋物線總經(jīng)過定點，這樣的定點有幾個？試寫出所有定點的坐標(biāo)，是否存在這樣一個定點C，使直線PC與直線y=kx+2k-1平行？如果不存在，請說明理由；如果存在，求當(dāng)直線y=kx+2k-1與拋物線的對稱軸的交點Q與點P關(guān)于x軸對稱時，直線PC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$可求得拋物線的對稱軸方程，接下來，將x=1代入拋物線的解析式可求得頂點的縱坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x=0時，可得到y(tǒng)=-4，故此拋物線與y軸的交點坐標(biāo)不變，然后依據(jù)拋物線的對稱性可求得拋物線經(jīng)過定點（2，-4）；由點C為拋物線上的頂點可知C（0，-4）或C（2，-4），然后PC∥AB可得到點C的坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線PC的解析式為y=ax+b．將點C和點P的坐標(biāo)代入可求得a=k，故此直線PC與直線y=kx+2k-1平行，將x=1代入y=kx+2k-1求得點Q的縱坐標(biāo)為3k-1，然后依據(jù)關(guān)于x軸對稱兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到關(guān)于k的方程，從而可求得k的值，于是得到直線PC的解析式．

解答 解：（1）∵由x=-$\frac{2a}$可知x=-$\frac{-2k}{2k}$=1，
∴拋物線的對稱軸為x=1．
∵將x=1代入得y=-k-4，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-k-4）．
故答案為：x=1，（1，-k-4）．
（2）存在兩個定點．
∵x=0時，y=-4，
∴拋物線經(jīng)過定點（0，-4）．
∵拋物線經(jīng)過定點（0，-4），拋物線的對稱軸為x=1，
∴拋物線經(jīng)過定點（2，-4）．
∵C為拋物線上的定點，
∴C（0，-4）或C（2，-4）．
∵當(dāng)C的坐標(biāo)為（0，-4）時，直線PC的一次項系數(shù)小于0，直線AB的一次項系數(shù)k＞0，
∴PC與AB不平行．
當(dāng)C的坐標(biāo)為（2，-4）時．設(shè)直線PC的解析式為y=ax+b．
將點C和點P的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-k-4}\\{2a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：b=-2k-4，a=k．
∴直線PC與直線y=kx+2k-1平行．
∵當(dāng)x=1時，直線y=kx+2k-1的函數(shù)值y=3k-1，
∴Q（1，3k-1）．
∵點Q與點P關(guān)于x軸對稱可得3k-1=k+4，
解得：k=$\frac{5}{2}$．
∴直線PC的解析式為y=$\frac{5}{2}$x-9．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的對稱軸方程，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點，得到PC經(jīng)過的定點C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．