Question

2．觀察下列等式
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n+1）}$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）根據(jù)以上規(guī)律直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并計(jì)算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2012×2014}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式得出一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）原式各項(xiàng)利用拆項(xiàng)法變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式變形后，利用拆項(xiàng)法計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2014}$）=$\frac{1006}{4028}$．
故答案為：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）①$\frac{2014}{2015}$；②$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．