Question

19．如圖，己知AB=8，以AB為斜邊作Rt△ABC，∠ACB=90°，過點(diǎn)C作AB的平行線，再過點(diǎn)A作AB的垂線，使兩線相交于點(diǎn)D．設(shè)AC=x，DC=y；則（x-y）的最大值是2．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件CD∥AB，得到∠DCA=∠BAC，∠D=∠BAD=90°，推出△ACD∽△ABC，得到方程$\frac{y}{x}=\frac{x}{8}$，求出二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{8}$x²，當(dāng)（x-y）取最大值時(shí)，即-$\frac{1}{8}$x²+x取最大值，于是得到（x-y）的最大值是2．

解答 解：∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，∠D=∠BAD=90°，
∴∠D=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∵AB=8，AC=x，CD=y，
∴$\frac{y}{x}=\frac{x}{8}$，
∴y=$\frac{1}{8}$x²，
當(dāng)（x-y）取最大值時(shí)，
即-$\frac{1}{8}$x²+x取最大值，
∴（x-y）的最大值是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，根據(jù)比例式求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．