Question

如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE．點F是對角線BD上一動點（點F不與點B重合），將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM，連接FM．

（1）求AO的長；
（2）如圖2，當(dāng)點F在線段BO上，且點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上時，求證：AC=

3

AM；
（3）連接EM，若△AEM的面積為40，請直接寫出△AFM的周長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,等邊三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA=

AB2-OB2

求解，
（2）由四邊形ABCD是菱形，求出△AFM為等邊三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中tan∠M=

AC

AM

，求出AC．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面積為40求出BF，在利用勾股定理AF=

AO2+FO2

=

52+42

=

41

，得出△AFM的周長為3

41

．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=

1

2

BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=

AB2-OB2

=

132-122

=5．

（2）如圖2，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM為等邊三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵點M，F(xiàn)，C三點在同一條直線上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中
∵tan∠M=

AC

AM

，
∴tan60°=

AC

AM

，
∴AC=

3

AM．

（3）如圖，連接EM，

∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（2）知△AFM為等邊三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，

AE=AB ∠EAM=∠BAF AM=AF

，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面積為40，△ABF的高為AO
∴

1

2

BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4
AF=

AO2+FO2

=

52+42

=

41

，
∴△AFM的周長為3

41

．

點評：本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是靈活運用等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)．