Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=$\frac{3}{4}$x-3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）．若點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上，則PM長(zhǎng)的最小值為$\frac{28}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)垂線(xiàn)段最短得出PM⊥AB時(shí)線(xiàn)段PM最短，分別求出PB、OB、OA、AB的長(zhǎng)度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本題的答案．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB，則：∠PMB=90°，當(dāng)PM⊥AB時(shí)，PM最短，
∵直線(xiàn)y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AO}$，即$\frac{7}{5}=\frac{PM}{4}$，解得：PM=$\frac{28}{5}$．
故答案為：$\frac{28}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及三角形相似的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．