Question

12．如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）．連接DP交對(duì)角線AC于E，連接BE．
（1）證明：∠APD=∠CBE；
（2）試問P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的$\frac{1}{4}$？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，即可證得∠CDE=∠APD，△CDE≌△CBE，繼而證得結(jié)論；
（2）首先連接BE，由等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，可證得S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_△ABD，繼而證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠DCE=∠BCE，AB∥CD，
∴∠CDE=∠APD，
在△CDE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠DCE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∴∠APD=∠CBE；

（2）P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的$\frac{1}{4}$．
理由：連接BD，
∵P是AB的中點(diǎn)，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，
∴S_△ADP=$\frac{1}{4}$S_菱形ABCD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．