Question

18．如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BAC=30°，AB=6+2$\sqrt{3}$，AD是∠BAC的平分線，若P、Q分別是AD和AC的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，垂足為E，交AD于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作PQ⊥AC，垂足為Q．則CP+PQ為所求的最小值，根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知PE=PQ，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，作CE⊥AB，垂足為E，交AD于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作PQ⊥AC，垂足為Q．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴PE=PQ，
∴CP+PQ=CP+PE=CE，
∴CE是點(diǎn)C到直線AB的最短距離（垂線段最短），
∴CE就是CP+PQ的最小值，
∵∠B=45°，∠BAC=30°，
∴CE=BE，AE=$\sqrt{3}$CE，
∵AB=6+2$\sqrt{3}$，
∴BE+AE=CE+$\sqrt{3}$CE=6+2$\sqrt{3}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$．
∴PC+PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．