Question

14．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，AB與CD相交于點(diǎn)E，連接AC，BC，點(diǎn)F是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠FCA=∠B．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若AE=4，tan∠ACD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求FC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明CF是⊙O的切線，只要證明OC⊥CF即可．
（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)AE=OE，因?yàn)镃E⊥OA，可以證明△AOC是等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖，連接OC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠OCB+∠ACO=90°，
∵∠FCA=∠B，
∴∠FCA+∠ACO=90°，即∠FCO=90°，
∴FC⊥OC，
∴FC是⊙O切線．
（2）解：∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵tan∠ACE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{AE}{EC}$，AE=4，
∴EC=4$\sqrt{3}$，設(shè)OA=OC=r，
在RT△OEC中，r²=（r-4）²+（4$\sqrt{3}$）²，
∴r=8，
∴OE=AE=4，∵CE⊥OA，
∴CA=CO=8，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠FOC=60°，
在RT△FOC中，∵∠OCF=90°，OC=8，∠F=30°，
∴OF=16，CF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{C}^{2}}$=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、三角函數(shù)、勾股定理．等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線知識(shí)解決問(wèn)題，證明△AOC是等邊三角形是解決問(wèn)題的突破口，屬于中考�？碱}型．