Question

16．已知三角形AOC的頂點坐標分別為O（0，0），A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1）．將△AOC沿AC翻折得到△APC．
（1）P點坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）將△PCA繞CA的中點M順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P₁C₁A₁的位置，點P₁的坐標為（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（3）畫出相關(guān)圖形．

Answer 1

分析 （1）在直角△OAC中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CAO的度數(shù)，以及∠OCA的度數(shù)．而∠PCA=∠OCA，∠BCA=∠CAO，則∠PCB就可以求出．在直角△PAG中，根據(jù)三角函數(shù)可以求得AG，PG的長，從而得到P的坐標；
（2）如圖2，連接MP₁，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△PCA≌△△P₁C₁A₁，△MP₁C₁是等邊三角形，AP⊥A₁P₁，證得MP₁∥x軸，根據(jù)M是AC的中點，即可求得結(jié)論；
（3）圖2即為所做的圖形．

解答 解：（1）如圖1，過點P作PG⊥x軸于G，
∵tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAO=30°，
∴∠PAO=60°，
∵△AOC沿AC翻折得到△APC，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PG=$\frac{3}{2}$，
∴點P的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）如圖2，連接MP₁，
∵將△PCA繞CA的中點M順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P₁C₁A₁，
∴△PCA≌△△P₁C₁A₁，△MP₁C₁是等邊三角形，AP⊥A₁P₁，
∴MP₁=1，∠MP₁A₁=30°，
∵∠HAA₁=60°，
∴∠HNA=30°，
∴∠HNA=∠MP₁H，
∴MP₁∥x軸，
∵M是AC的中點，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴P₁（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（3）如圖2所示．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定好性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．