Question

在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2010個正方形的面積為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，求出AB，BA₁，求出邊長A₁C和面積即可；進(jìn)一步求得第3個正方形的邊長和面積；以此得出第4個正方形的邊長和面積；…類推得出第2010個正方形的邊長和面積得出答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2個正方形A₁B₁C₁C的邊長A₁C=A₁B+BC=

3

2

5

，面積是（

3

2

5

）²；
同理第3個正方形的邊長是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

，面積是（

3

2

）²（

5

）²；
第4個正方形的邊長是（

3

2

）³

5

，面積是（

3

2

）⁶（

5

）²；
…
第2010個正方形的邊長是（

3

2

）^2010-1（

5

），面積是（

3

2

）⁴⁰¹⁸（

5

）²=5（

3

2

）⁴⁰¹⁸．
故答案為：5（

3

2

）⁴⁰¹⁸．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計算的結(jié)果得出規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．