Question

6．設(shè)O為銳角△ABC的外心，R為△ABC的外接圓半徑，AO，BO，CO的延長線分別交BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．求證：$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BE}$+$\frac{1}{CF}$=$\frac{2}{R}$．

Answer 1

分析 延長AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共點(diǎn)O．根據(jù)S_△ABC=S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO、$\frac{OD}{AD}=\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$，$\frac{OE}{BE}$=$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BAC}}$，$\frac{OF}{CF}$=$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△CAB}}$，可以推知$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$①；然后由OD=R-DM、AM=2R求得=$\frac{R-DM}{2R-DM}$=1-$\frac{R}{AD}$、$\frac{OE}{BE}=1-\frac{R}{BE}$，$\frac{OF}{CF}$=1-$\frac{R}{CF}$；最后將其代入①式求得結(jié)論．

解答 證明：延長AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共點(diǎn)O，
∴$\frac{OD}{AD}=\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△ABC}}$，$\frac{OE}{BE}$=$\frac{{S}_{△OAC}}{{S}_{△BAC}}$，$\frac{OF}{CF}$=$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△CAB}}$，
則$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$…①；
而$\frac{OD}{AD}$=$\frac{R-DM}{2R-DM}$=1-$\frac{R}{2R-DM}$=1-$\frac{R}{AD}$，
同理有，$\frac{OE}{BE}=1-\frac{R}{BE}$，$\frac{OF}{CF}$=1-$\frac{R}{CF}$，
代入①得：（1-$\frac{R}{AD}$）+（1-$\frac{R}{BE}$）+（1-$\frac{R}{CF}$）=1…②，
∴$\frac{R}{AD}$+$\frac{R}{BE}$+$\frac{R}{CF}$=2，
∴$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BE}$+$\frac{1}{CF}$=$\frac{2}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面積以及等積變換．解答本題時(shí)，通過作輔助線AM，將AD、OD、CO、CF、BO、BE的長度與半徑R聯(lián)系在一起，從而通過化$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$，證得結(jié)$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BE}$+$\frac{1}{CF}$=$\frac{2}{R}$．