Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA₁B₁，第二次將△OA₁B₁變換成△OA₂B₂，第三次將△OA₂B₂變換成△OA₃B₃，已知：A（1，3）、A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3）、B（2，0）、B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0）．求：
 （1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律．按此變換規(guī)律再將△OA₃B₃變換成△OA₄B₄，則A₄的坐標(biāo)是（16，3），B₄的坐標(biāo)是（32，0）；
（2）若按第（1）題找到的規(guī)律將△OAB進(jìn)行n次變換，得到△OA_nB_n．推測(cè)A_n的坐標(biāo)是（2ⁿ，3），B_n的坐標(biāo)是（2ⁿ⁺¹，0）；
（3）這時(shí)三角形的邊變化了，跟隨著三角形的形狀也發(fā)生了變化，三角形橫（橫、縱）向放大（放大、縮�。┑皆瓉淼�2ⁿ倍，三角形的面積呢？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息可以發(fā)現(xiàn)A₁、A₂、A₃各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是2ⁿ，縱坐標(biāo)都是3，故可求得A₄的坐標(biāo)；B₁、B₂、B₃各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是2ⁿ⁺¹，縱坐標(biāo)都為0，從而可求得點(diǎn)B₄的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以求得A_n、B_n點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形的底邊后一個(gè)是前一個(gè)三角形的底邊的2倍，先求出△OA_nB_n的底邊OB_n的長(zhǎng)度，高都是4不變，然后利用三角形的面積公式分別計(jì)算出兩三角形的面積，相除即可得到倍數(shù)．

解答 解：（1）∵A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3）．
∴A₄的橫坐標(biāo)為：2⁴=16，縱坐標(biāo)為：3．
故點(diǎn)A₄的坐標(biāo)為：（16，3）．
又∵B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0）．
∴B₄的橫坐標(biāo)為：2⁵=32，縱坐標(biāo)為：0．
故點(diǎn)B₄的坐標(biāo)為：（32，0）；
故答案為：（16，3），（32，0）；

（2）由A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3），可以發(fā)現(xiàn)它們各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是2ⁿ，縱坐標(biāo)都是3．
故A_n的坐標(biāo)為：（2ⁿ，3）．
由B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0），可以發(fā)現(xiàn)它們各點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為橫坐標(biāo)是2ⁿ⁺¹，縱坐標(biāo)都是0．
故B_n的坐標(biāo)為：（2ⁿ⁺¹，0）
故答案為：（2ⁿ，0），：（2ⁿ⁺¹，0）；

（3）根據(jù)規(guī)律，后一個(gè)三角形的底邊是前一個(gè)三角形底邊的2倍，高相等都是4，OB_n=2ⁿ⁺¹，
∴三角形的邊變化了，跟隨著三角形的形狀也發(fā)生了變化，三角形橫向放大到原來的2ⁿ倍，
∵S_△OAnBn=$\frac{1}{2}$×2ⁿ⁺¹×4=2ⁿ⁺²，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
2ⁿ⁺²÷4=2ⁿ，
∴△OAnBn的面積是△OAB面積的2ⁿ倍，
故答案為：邊，橫，放大，2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)變換的平移變換以及圖形規(guī)律的探尋，發(fā)現(xiàn)三角形的高都是4不變，底邊成2倍擴(kuò)大的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．