Question

3．如圖，拋物線y=x²+bx+c（c＞0）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為A，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)OC=2AD時(shí)，c的值是4.5或13.5．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如圖1，
先根據(jù)tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A（2m，3m），B（2n，3n），因?yàn)锳、D都在拋物線的對稱軸上，所以AD∥y軸，即AD∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理列式得：D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)C和B的坐標(biāo)表示出中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n，則n=2m，所以B（4m，6m），把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c（c＞0）中列方程組，同時(shí)根據(jù)對稱軸得：-$\frac{2}$=2m，組成三個(gè)方程的方程組，解出即可．
②當(dāng)拋物線頂點(diǎn)A在第四象限時(shí)，如圖2，同理可求得c的值為13.5．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)A在第一象限時(shí)，如圖1，
由tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，設(shè)A（2m，3m），B（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵OC=2AD，
∴$\frac{AD}{2AD}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴D為BC的中點(diǎn)，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D的橫坐標(biāo)為：$\frac{0+2n}{2}$=n，
由題意可知：A、D都在拋物線的對稱軸上，
∴n=2m，
∴B（4m，6m），
則$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+2bm+c=3m}\\{16{m}^{2}+4bm+c=6m}\\{-\frac{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{b=0}\\{m=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{9}{2}}\\{b=-3}\\{m=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∵c＞0，
∴c=4.5，
②當(dāng)拋物線頂點(diǎn)A在第四象限時(shí)，如圖2，
設(shè)A（2m，-3m），B（2n，-3n），
∵AD∥OC，
∴$\frac{AD}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵OC=2AD，
∴$\frac{AD}{2AD}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，
過C作CG⊥DE于G，過B作BH⊥CG于H，
設(shè)D（x，y），則x=-$\frac{2}$=2m，
∵BH∥DG，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CH}{CG}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{2n}{x}$，
∴x=3n，
∴3n=2m，
∴n=$\frac{2}{3}$m，
∴B（$\frac{4}{3}m$，-2m），
則$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}+2mb+c=-3m}\\{\frac{16}{9}{m}^{2}+\frac{4}{3}mb+c=-2m}\\{-\frac{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{9}{4}}\\{b=-9}\\{c=13.5}\end{array}\right.$，
綜上所述，c的值是4.5或13.5，
故答案為：4.5或13.5．

點(diǎn)評 本題考查了平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)不僅應(yīng)用它列比例式，求線段的長，還可以利用三角函數(shù)值設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；本題還利用了待定系數(shù)法，列方程組，求二次函數(shù)的解析式．