Question

5．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交x軸于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；
（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)P使△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0），B（5，0），C（0，2）分別代入y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值；
（2）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求M點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)M作MN垂直y軸于N，根據(jù)S_△BCM=S_{四邊形OBMN}-S_△OBC-S_△MNC求△BCM的面積；
（3）根據(jù)AC為腰，AC為底兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)AC為腰時(shí)，分為A為等腰三角形的頂點(diǎn)，C為等腰三角形的頂點(diǎn)，兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為底時(shí)，作線段AC的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，利用三角形相似求OP．

解答 解：（1）將A（-1，0），B（5，0），C（0，2）分別代入y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 25a+5b+c=0\\ c=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{5}\\ b=\frac{8}{5}\\ c=2\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2；
（2）頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（2，$\frac{18}{5}$）．
過(guò)M作MN垂直y軸于N，
所以S_△BCM=S_OBMN-S_△OBC-S_△MNC
=$\frac{1}{2}$（2+5）×$\frac{18}{5}$-$\frac{1}{2}$×5×2-$\frac{1}{2}$×（$\frac{18}{5}$-2）×2
=6；
（3）如圖，當(dāng)以AC為腰時(shí)，在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)分別為P₁，P₂，易求AC=$\sqrt{5}$，
則0P₁=1+$\sqrt{5}$，OP₂=$\sqrt{5}$-1，
所以P₁，P₂的坐標(biāo)分別是P₁（-1-$\sqrt{5}$，0），P₂（$\sqrt{5}$-1，0）；
當(dāng)以AC為底時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于P₃，交y軸于F，垂足為E，
CE=$\frac{AC}{2}$，
易證△CEF∽△COA，
所以$\frac{CF}{CE}$=$\frac{CA}{CO}$，
所以$\frac{CF}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
CF=$\frac{5}{4}$，OF=OC-CF=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
EF=$\sqrt{{CF}^{2}-{CE}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
又∵△CEF∽△P₃OF，
所以，$\frac{CE}{EF}$=$\frac{{OP}_{3}}{OF}$，
求得OP₃=$\frac{3}{2}$，
則P₃的坐標(biāo)為P₃（$\frac{3}{2}$，0）．
AC=PC，則P₄（1，0）．
所以存在P₁、P₂、P₃、P₄四個(gè)點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是P₁（-1-$\sqrt{5}$，0）、P₂（$\sqrt{5}$-1，0）、P₃（$\frac{3}{2}$，0）、P₄（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論，求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．