Question

8．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，點(diǎn)E在⊙O上，AC=CE，連BE，AC=4，BC=2，則BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 連接OC、AE，OC的反向延長(zhǎng)線交AE于E，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=∠AEB=90°，則AB=2$\sqrt{5}$，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC，接著證明△PCB∽△PAC，利用相似比得到PC=2PB，PC²=PB•PA，則4PB²=PB（PB+2$\sqrt{5}$），解得PB=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，接下來(lái)利用等腰三角形的性質(zhì)得CH⊥AE，則PC∥AE，所以∠P=∠PAE，然后證明Rt△ABE∽R(shí)t△POC，則利用相似比可求出BE的長(zhǎng)．

解答 解：連接OC、AE，OC的反向延長(zhǎng)線交AE于E，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，即∠OCB+∠PCB=90°，
而∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠OCA=∠PCB，
而OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠PCB，
而∠CPB=∠APC，
∴△PCB∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2PB，PC²=PB•PA，
∴4PB²=PB（PB+2$\sqrt{5}$），解得PB=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴OP=OB+PB=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵CA=CE，
∴CH⊥AE，
∴PC∥AE，
∴∠P=∠PAE，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△POC，
∴$\frac{BE}{OC}$=$\frac{AB}{PO}$，即$\frac{BE}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{5\sqrt{5}}{3}}$，
∴BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．