Question

如圖，拋物線y=x²-3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，將直線AC向右平移交拋物線于點P，交x軸于Q，∠CPQ=135°，求直線PQ的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：利用拋物線與x軸的交點問題得到A（1，0），B（2，0），易得C點坐標（0，2），再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=-2x+2；作AE⊥AC交直線CP于D，作DE⊥x軸于E，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AC∥PQ得∠ACP=45°，則△ACD為等腰直角三角形，所以AC=AD，接著證明△ACO≌△DAE，得到AE=OC=2，DE=OA=1，于是可確定D點坐標為（3，1），再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=-

1

3

x+2，然后解方程組

y=x2-3x+2 y=- 1 3 x+2

得到P點坐標為（

8

3

，

10

9

），由于PQ∥AC，則直線PQ的解析式可設為y=-2x+t，然后把P（

8

3

，

10

9

）代入求出t即可得到直線PQ的解析式．

解答：解：把y=0代入y=x²-3x+2得x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，
則A（1，0），B（2，0），
把x=0代入y=x²-3x+2得y=2，則C點坐標為（0，2），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（1，0）、C（0，2）代入得

k+b=0 b=2

，
解得

k=-2 b=2

，
所以直線AC的解析式為y=-2x+2；
作AE⊥AC交直線CP于D，作DE⊥x軸于E，如圖，
∵AC∥PQ，
∴∠ACP=180°-∠CPQ=180°-135°=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=AD，
∵∠CAO+∠DAE=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠EAD，
在△ACO和△DAE中，

∠AOC=∠DEA ∠ACO=∠DAE AC=DA

，
∴△ACO≌△DAE（AAS），
∴AE=OC=2，DE=OA=1，
∴D點坐標為（3，1），
設直線CD的解析式為y=mx+n，
把C（0，2）、D（3，1）代入得

n=2 3m+n=1

，
解得

m=- 1 3 n=2

，
則直線CD的解析式為y=-

1

3

x+2，
解方程組

y=x2-3x+2 y=- 1 3 x+2

得

x=0 y=2

或

x= 8 3 y= 10 9

，
∴P點坐標為（

8

3

，

10

9

），
∵PQ∥AC，
∴直線PQ的解析式可設為y=-2x+t，
把P（

8

3

，

10

9

）代入得-2×

8

3

+t=

10

9

，
解得t=

58

9

，
∴直線PQ的解析式為y=-2x+

58

9

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和利用方程組的解求兩函數(shù)交點坐標．