Question

【題目】如圖，已知雙曲線y=和直線y=-x+2，P是雙曲線第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交直線y=-x+2于Q點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求直線y=-x+2與坐標(biāo)軸圍成三角形的周長(zhǎng)；

（2）設(shè)△PQO的面積為S，求S的最小值．

（3）設(shè)定點(diǎn)R（2，2），以點(diǎn)P為圓心，PR為半徑畫⊙P，設(shè)⊙P與直線y=-x+2交于M、N兩點(diǎn)．

①判斷點(diǎn)Q與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②求S△MON=S△PMN時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）①點(diǎn)在上，理由見(jiàn)解析；②或．

【解析】

（1）先求直線y=-x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A,B坐標(biāo)，利用勾股定理求AB，即可得△OAB的周長(zhǎng)。

（2）設(shè)，即可得出S=，利用二次函數(shù)最值即可求得

（3）①利用勾股定理或兩點(diǎn)之間距離公式可求得PR2和PQ2，由PQ=PR，可得點(diǎn)Q在⊙P上；

②根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得OE=，PD=,再由,可得OE=PD，進(jìn)而可得，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）如圖，在中，令，得，令，得，解得，

∴，

∴，，

∴的周長(zhǎng)

；

（2）設(shè)，則，

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，；

（3）①點(diǎn)在上．如圖2，設(shè)，

由（2）知，

∴

過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，

與交于，則

∴，

∴

∴

∴

∴點(diǎn)在上；

②如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，則

∵，

∴，

∴，

∵軸

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴或．