Question

6．我們知道，一元二次方程x²=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1，若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)i，使其滿足i²=-1（即x²=-1方程有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，從而對任意正整數(shù)n，我們可得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1，那么，1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． i

Answer 1

分析 i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，從而可得4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0，計(jì)算即可．

解答 解：由題意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0，
∵$\frac{2014}{4}$=503…2，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=i-1，
∴1+i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=1+i-1=i．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是計(jì)算出前面幾個(gè)數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和再計(jì)算，有一定難度．