Question

1．在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED．
（1）求證：AE∥BC；
（2）若BC=5，BD=4，求△ADE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，則根據(jù)平行線的判定方法即可得到AE∥BC；
（2）由△BDE是等邊三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，則AE=CD，所以△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC；
（2）∵△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周長(zhǎng)=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．