Question

9．如圖，E是正方形ABCD上一點，△ABF由△ADE旋轉(zhuǎn)所得
（1）旋轉(zhuǎn)中心是A，旋轉(zhuǎn)角等于90°
（2）點G在BC上，若∠EAG=45°，AD=8，DE=6，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，直接得出旋轉(zhuǎn)的中心和旋轉(zhuǎn)的角度；
（2）根據(jù)勾股定理得到AE=10，推出AG是∠EAF的平分線，于是得到AG是線段EF的垂直平分線，求得GE=GF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=$\sqrt{2}$AE=10$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理得到CF=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（8-6）^{2}}$=14，推出DE+GB=BF+BG=GF．然后根據(jù)勾股定理即刻得到結論．

解答 解：（1）旋轉(zhuǎn)的中心是點A，旋轉(zhuǎn)的角度是90°，
故答案為：A，90；

（2）∵AD=8，DE=6，
∴AE=10，
∵∠GAE=45°，∠EAF=90°，
∴AG是∠EAF的平分線，
∴AG是線段EF的垂直平分線，
∴GE=GF，
又∵AF=AE，
∴EF=$\sqrt{2}$AE=10$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（8-6）^{2}}$=14，
∵DE=BF，
∴DE+GB=BF+BG=GF．
∵CG²+CE²=EG²，即CG²+2²=（14-CG）²，
∴CG=$\frac{18}{7}$．

點評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ADE≌△ABF是解題關鍵．