Question

16．如圖，E、F分別是矩形ABCD的邊AD、AB上的點(diǎn)，EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求證：△AEF≌△DCE；
（2）若DC=$\sqrt{2}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件可證明△AEF≌△DCE；
（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的長．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AEF=∠CED，
在△AEF和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AFE=∠CED}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=$\sqrt{2}$，
在矩形ABCD中，AB=CD=$\sqrt{2}$，
在R△ABE中，AB²+AE²=BE²，即（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=BE²，
∴BE=2．

點(diǎn)評 本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意勾股定理的應(yīng)用．