Question

6．已知四邊形ABCD為菱形，連接BD，點(diǎn)E為菱形ABCD外任一點(diǎn)．

（1）如圖（1），若∠A=45°，AB=$\sqrt{6}$，點(diǎn)E為過點(diǎn)B作AD邊的垂線與CD邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，BE，AD交于點(diǎn)F，求DE的長(zhǎng)．
（2）如圖（2），若2∠AEB=180°-∠BED，∠ABE=60°，求證：BC=BE+DE
（3）如圖（3），若點(diǎn)E在的CB延長(zhǎng)線上時(shí)，連接DE，試猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AFB與△EFD為等腰直角三角形，然后在△ABF中依據(jù)勾股定理可求得BF和AF的長(zhǎng)，從而得到DF的長(zhǎng)，然后在Rt△EDF中，可求得DE的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)DE至K，使EK=EB，聯(lián)結(jié)AK．首先證明∠AEB=∠AEK，然后依據(jù)SAS證明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性質(zhì)可得到可等邊三角形的判斷定理可證明△AKD為等邊三角形，于是得到KD=BC，通過等量代換可得到問題的答案；
（3）記AB與DE的交點(diǎn)為O．首先證明依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠ABC=2∠ABD，然后依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明∠CDE=∠BOE，最后依據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到問題的答案．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=$\sqrt{6}$，AB∥CD．
∴∠A=∠ADE=45°．
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=DFE=90°．
∴△AFB與△EFD為等腰直角三角形．
∴BF²+AF²=AB²，即：2BF²=6，
∴BF=AF=$\sqrt{3}$．
∵△EFD為等腰直角三角形，
∴EF=DF=AD-AF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．
∴DE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$．
（2）如圖2所示：延長(zhǎng)DE至K，使EK=EB，聯(lián)結(jié)AK．

∵2∠AEB=180°-∠BED，
∴∠BED=180°-2∠AEB=180°-∠AEB-∠AEK．
∴∠AEB=∠AEK．
在△AEB和△AEK中$\left\{\begin{array}{l}{BE=KE}\\{∠AEB=AEK}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEK．
∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．
又∵AB=AD，
∴AK=AE．
∴△AKD為等邊三角形．
∴KD=AD．
∴KD=BC．
∵KD=KE+DE，
∴CB=EB+DE．
（3）如圖3所示：記AB與DE的交點(diǎn)為O．

∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥DC，∠ABC=2∠ABD．
∴∠CDE=∠BOE．
∵∠ABC=∠BED+∠EOB，
∴2∠ABD=∠BED+∠CDE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)和判斷、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握問題中輔助線的做法，并征得△AKD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．