Question

如圖，拋物線與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線于點(diǎn)C；

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，判定點(diǎn)是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點(diǎn)，

∴，   解得

∴拋物線的解析式為

（2）過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于E，AA^/與OC交于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)C在直線y=2x上，    ∴C（5，10）

∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，

∴OC⊥，=AD.

∵OA=5，AC=10,

∴.

∵,   ∴.∴.

在和Rt中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD.

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽.

∴即.

∴=4，AE=8.

∴OE=AE－OA=3.

∴點(diǎn)A^/的坐標(biāo)為（﹣3,4）.

當(dāng)x=﹣3時(shí)，.

所以，點(diǎn)A^/在該拋物線上

（3）存在.

理由：設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

則，解得

∴直線的解析式為.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M為.

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，

∴ .

   解得（不合題意,舍去）當(dāng)x=2時(shí)，.

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形.