Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)y=x，y=的圖象相交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作EF∥y軸與直線BC交于點(diǎn)F，以EF為一邊向x軸負(fù)方向作正方形EFMN，設(shè)正方形EFMN與△AOC的重疊部分的面積為S.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)表達(dá)式；

（4）在（3）的條件下，t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？此時(shí)（2）中的拋物線的頂點(diǎn)P是否在直線EF上，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）依題意得 解得 

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4).                 …………………………3分

   （2）直線y=與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）.

        設(shè)過(guò)A、B、O的拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx，

        依題意得解得

           =，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3,）.  ………………6分

  （3）設(shè)直線MF、NE與y軸交于點(diǎn)P、Q， 則△OQE是等腰直角三角形.

        ∵OE=1×t= t， ∴EQ=OQ=，∴E（，）.

        ∵EF∥y軸， ∴PF=，=12－.

        ∴EF=PQ=12－－=.

          ①當(dāng)EF＞QE時(shí)， 即＞，解得.

          ∴當(dāng)時(shí)，()=.

          ②當(dāng)EF≤QE時(shí),即≤，解得 .

           ∴當(dāng)時(shí)，S=EF²=()² . ………………………10分

         （4）當(dāng)時(shí)， =.

          ∴當(dāng)時(shí)，S_最大=12 .

           當(dāng)時(shí)，S_最大=()²=9.

           ∴當(dāng)時(shí)，S_最大=12.               ……………………………11分

           當(dāng)時(shí)，E（2，2），F(xiàn)（2，8），

∵P（3，），∴點(diǎn)P不在直線EF上.     ……………………………12分