Question

2．如圖，將兩塊腰長(zhǎng)相等的三角尺（△ABC和△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°）置于水平面上，直角邊BC=EF=1cm，且始終緊貼在水平直線l上．
（1）在圖①中，當(dāng)邊DF與邊AC重合時(shí)，AB與AE的大小關(guān)系是相等；
（2）將三角板ABC以1cm/s的速度從圖①的位置沿直線l向右平移，設(shè)平移的時(shí)間為t（s），如圖②所示，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，DE分別交AC、AB于點(diǎn)G、H，DF分別交AB、BG于點(diǎn)P、Q．連接BG、AE．
①求證：BG=AE；
②在平移過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻t，使得以點(diǎn)D、G、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
②當(dāng)∠D=45°，分三種情況討論解答即可．

解答 解：（1）在△ACB與△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{∠ACB=∠DFE}\\{BC=FE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DFE（SAS），
∴AB=DE，
∴AB=AE；
故答案為：相等；
（2）①證明：
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DF=EF，∠ACB=∠DFE=90°，
∴∠DEF=∠D=45°，
∴△GCE是等腰直角三角形，
同理可證△BEP是等腰直角三角形，
∴CG=CE，
∵∠ACB=∠ACE=90°，
在△BCG與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCG=∠ACE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ACE（SAS）．
∴BG=AE，
②存在．

∵∠D=45°，可分三種情況討論：
（i）當(dāng)∠DGB=∠D=45°時(shí)，
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE，
∴∠GBE=0°，即t=1，
∵平移時(shí)間0＜tt＜1，
∴當(dāng)∠DGB=∠D=45°時(shí)，不符合題意，
（ii）同理可證，當(dāng)∠DQG=∠D=45°時(shí)，不符合題意，
（iii）當(dāng)∠DGB=∠DQG時(shí)，
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE，
∠DQG=∠BPQ+∠PBQ=45°+∠PBQ，
∴∠GBE=∠PBQ，
由已知易得∠BHE=∠ACB=90°，
∴GH=GC，
當(dāng)平移時(shí)間為ts時(shí)，CF=tcm，
∴CE=CG=GH=（1-t）cm，AG=1-（1-t）=tcm，
∵BC=AC=1cm，
∴$AB=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
∵${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}AB•GH=\frac{1}{2}AG•BC$，
∴$\sqrt{2}（1-t）=t$，解得 t=2-$\sqrt{2}$（s）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答，考察的知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大，解答本題之前一定要將圖形畫出來(lái)，這樣可以使我們的思考方向更準(zhǔn)確一些，另外要求我們熟練掌握各個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容．