Question

2．如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，B、E、C、G在一直線上，△DHE的面積的最小值是$\frac{27}{8}$a²．

Answer 1

分析 設BE=x，△DHE的面積為y，通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，得出關于x，y的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質求出y取最小值時x的值，并求出此時y的值．

解答 解：設BE=x，△DHE的面積為y，
依題意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH，
=$\frac{1}{2}$×3a×（3a-x）+$\frac{1}{2}$×（3a+x）×x-$\frac{1}{2}$×3a×x，
=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$ax+$\frac{9}{2}$a²，
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$ax+$\frac{9}{2}$a²=$\frac{1}{2}$（x-1.5a）²+$\frac{27}{8}$a²，
當x=1.5a，即BE=$\frac{1}{2}$BC，E是BC的中點時，y取最小值，△DHE的面積y的最小值為$\frac{27}{8}$a²．
故答案為：$\frac{27}{8}$a²．

點評 本題主要考查了正方形的性質，二次函數(shù)的綜合應用等知識點，正確得到x和y的二次函數(shù)關系式是解題關鍵．