Question

17．已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（0，8），B（0，-2），C（x，y）是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中x，y滿(mǎn)足x-y+6=0，則CD長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 如圖所示，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對(duì)角線(xiàn)AB、CD互相平分，可得CD過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，即CM=DM，根據(jù)A與B坐標(biāo)求出M坐標(biāo)，要求CD的最小值只需求出CM的最小值即可．

解答 解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對(duì)角線(xiàn)AB、CD互相平分，
∴CD過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，即CM=DM，
∵A（0，8），B（0，-2），
∴M（0，3），
∵點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短，
∴過(guò)M作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)C，此時(shí)CM最小，
直線(xiàn)x-y+6=0，令x=0得到y(tǒng)=6；令y=0得到x=-6，即F（-6，0），E（0，6），
∴OE=6，OF=6，EM=3，EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵△EOF∽△ECM，
∴$\frac{CM}{OF}=\frac{EM}{EF}$，
即$\frac{CM}{6}=\frac{3}{6\sqrt{2}}$，
解得：CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則CD的最小值為2CM=3$\sqrt{2}$．
因?yàn)楫?dāng)AB為邊時(shí)，CD長(zhǎng)恒為10，當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)CD最短是3根號(hào)2，
10＞3$\sqrt{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．