Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為2a，2b，點A，D，G在y軸上，坐標原點O為AD的中點，拋物線y=mx²過C，F兩點，連接FD并延長交拋物線于點M．
（1）若a=1，求m和b的值；
（2）求$\frac{a}$的值；
（3）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a=1，根據正方形的性質及已知條件得出C（2，1）．將C點坐標代入y=mx²，求出m=$\frac{1}{4}$，則拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，再將F（2b，2b+1）代入y=$\frac{1}{4}$x²，即可求出b的值；
（2）由正方形ABCD的邊長為2a，坐標原點O為AD的中點，得出C（2a，a）．將C點坐標代入y=mx²，求出m=$\frac{1}{4a}$，則拋物線解析式為y=$\frac{1}{4a}$x²，再將F（2b，2b+a）代入y=$\frac{1}{4a}$x²，整理得出方程b²-2ab-a²=0，把a看作常數，利用求根公式得出b=（1±$\sqrt{2}$）a（負值舍去），那么$\frac{a}$=1+$\sqrt{2}$；
（3）先利用待定系數法求出直線FD的解析式為y=x+a．再求出M點坐標為（2a-2$\sqrt{2}$a，3a-2$\sqrt{2}$a）．又F（2a+2$\sqrt{2}$a，3a+2$\sqrt{2}$a），利用中點坐標公式得到以FM為直徑的圓的圓心O′的坐標為（2a，3a），再求出O′到直線AB（y=-a）的距離d的值，以FM為直徑的圓的半徑r的值，由d=r，根據直線與圓的位置關系可得以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．

解答 解：（1）∵a=1，
∴正方形ABCD的邊長為2，
∵坐標原點O為AD的中點，
∴C（2，1）．
∵拋物線y=mx²過C點，
∴1=4m，解得m=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
將F（2b，2b+1）代入y=$\frac{1}{4}$x²，
得2b+1=$\frac{1}{4}$×（2b）²，b=1±$\sqrt{2}$（負值舍去）．
故m=$\frac{1}{4}$，b=1+$\sqrt{2}$；

（2）∵正方形ABCD的邊長為2a，坐標原點O為AD的中點，
∴C（2a，a）．
∵拋物線y=mx²過C點，
∴a=m•4a²，解得m=$\frac{1}{4a}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4a}$x²，
將F（2b，2b+a）代入y=$\frac{1}{4a}$x²，
得2b+a=$\frac{1}{4a}$×（2b）²，
整理得b²-2ab-a²=0，
解得b=（1±$\sqrt{2}$）a（負值舍去），
∴$\frac{a}$=1+$\sqrt{2}$；

（3）以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．理由如下：
∵D（0，a），
∴可設直線FD的解析式為y=kx+a，
∵F（2b，2b+a），
∴2b+a=k•2b+a，解得k=1，
∴直線FD的解析式為y=x+a．
將y=x+a代入y=$\frac{1}{4a}$x²，
得x+a=$\frac{1}{4a}$x²，解得x=2a±2$\sqrt{2}$a（正值舍去），
∴M點坐標為（2a-2$\sqrt{2}$a，3a-2$\sqrt{2}$a）．
∵F（2b，2b+a），b=（1+$\sqrt{2}$）a，
∴F（2a+2$\sqrt{2}$a，3a+2$\sqrt{2}$a），
∴以FM為直徑的圓的圓心O′的坐標為（2a，3a），
∴O′到直線AB（y=-a）的距離d=3a-（-a）=4a，
∵以FM為直徑的圓的半徑r=O′F=$\sqrt{（2a+2\sqrt{2}a-2a）^{2}+（3a+2\sqrt{2}a-3a）^{2}}$=4a，
∴d=r，
∴以FM為直徑的圓與AB所在直線相切．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到正方形的性質，待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，一元二次方程的求根公式，直線與拋物線交點坐標的求法，直線與圓的位置關系．綜合性較強，難度適中．正確求出拋物線的解析式是解題的關鍵．