Question

15．如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以OA、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，D是邊CB上的一個動點（不與C、B重合），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過點D且與邊BA交于點E，連接DE．
（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k=4；
（2）連接CA、DE與CA是否平行？請說明理由；
（3）是否存在點D，使得點B關于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，即可求出k的值；
（2）連接AC，設D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），則BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，得到$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$，證明△BDE∽△BCA，進而證得DE∥AC．
（3）假設存在點D滿足條件．設D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），則CD=x，BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，AE=$\frac{5}{3}x$．作EF⊥OC，垂足為F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根據(jù)對稱性求出B′E、B′D的表達式，列出$\frac{B'E}{B'D}=\frac{B'F}{CD}$，即$\frac{5-\frac{5}{3}x}{3-x}$=$\frac{B′F}{x}$，從而求出（5-$\frac{10}{3}x$）²+x²=（3-x）²，即可求出x值，從而得到D點坐標．

解答 解：（1）連接OE，如，圖1，
∵Rt△AOE的面積為2，
∴k=2×2=4．
（2）連接AC，如圖1，設D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），則BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，
$\frac{BD}{BE}=\frac{3-x}{5-\frac{5}{3}x}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED=∠BAC，
∴DE∥AC．
（3）假設存在點D滿足條件．設D（x，5），E（3，$\frac{5}{3}x$），則CD=x，
BD=3-x，BE=5-$\frac{5}{3}x$，AE=$\frac{5}{3}x$．
作EF⊥OC，垂足為F，如圖2，
易證△B′CD∽△EFB′，
∴$\frac{B'E}{B'D}=\frac{B'F}{CD}$，即$\frac{5-\frac{5}{3}x}{3-x}$=$\frac{B′F}{x}$，
∴B′F=$\frac{5}{3}x$，
∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=$\frac{5}{3}x$+$\frac{5}{3}x$=$\frac{10}{3}x$，
∴CB′=OC-OB′=5-$\frac{10}{3}x$，
在Rt△B′CD中，CB′=5-$\frac{10}{3}x$，CD=x，B′D=BD=3-x，
由勾股定理得，CB′²+CD²=B′D²，
（5-$\frac{10}{3}x$）²+x²=（3-x）²，
解這個方程得，x₁=1.5（舍去），x₂=0.96，
∴滿足條件的點D存在，D的坐標為D（0.96，5）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及反比例函數(shù)k的幾何意義、平行線分線段成比例定理、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識，值得關注．