Question

8．已知AB為⊙O的直徑，DC與⊙O相切于點C，AD交⊙O于E點，$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$．

（1）如圖1，求證：AD⊥DC．
（2）如圖2，連接BD，若CD=12，AD=16，求tan∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖1，利用$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$得到∠1=∠2，再證明OC∥AD，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥AD，于是可判斷AD⊥DC；
（2）接BE、OC，它們相交于點H，如圖2，利用垂徑定理的推論，由$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$得到OC⊥BE，EH=BH，再證明四邊形CDEH為矩形得到EH=CD=12，DE=CH，設DE=x，⊙O的半徑為r，則AE=AD-DE=16-x，OH=r-x，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)的∴6-x=2（r-x），r=$\frac{1}{2}$（16+x），則AB=16+x，接著利用勾股定理得到（16-x）²+24²=（16+x）²，解得x=9，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵DC與⊙O相切于點C，
∴OC⊥AD，
∴AD⊥DC；

（2）解：連接BE、OC，它們相交于點H，如圖2，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$，
∴OC⊥BE，EH=BH，
∵OC⊥AD，AD⊥DC，
∴四邊形CDEH為矩形，
∴EH=CD=12，DE=CH，
∴BE=2EH=24，
設DE=x，⊙O的半徑為r，則AE=AD-DE=16-x，OH=r-x，
而AE=2OH，
∴16-x=2（r-x），
∴r=$\frac{1}{2}$（16+x），
∴AB=16+x，
在Rt△ABE中，（16-x）²+24²=（16+x）²，解得x=9，
∴tanEDB=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{24}{9}$=$\frac{8}{3}$，
即tan∠ADB的值為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了解直角三角形．