Question

3．已知A（0，8），B（6，0），在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)P，使三角形ABP為等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由于沒(méi)有說(shuō)明三角形ABP的腰與底，故需要分三種情況進(jìn)行討論，AP=BP，AB=BP，AB=AP．

解答 解：∵A（0，8），B（6，0），
∴由勾股定理可知：AB=10，
∴OA=8，OB=6，
當(dāng)AP=BP時(shí)，
作線段AB的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)P，
設(shè)AC=x，
∴OC=8-x，BC=x，
在Rt△BOC中，
由勾股定理可知：x²=6²+（8-x）²，
∴x=$\frac{25}{4}$
∴OC=$\frac{7}{4}$
∵∠CPO=∠BAO，
∴tan∠CPO=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{3}{4}$
∴OP=$\frac{7}{3}$
∴P（0，-$\frac{7}{3}$）
當(dāng)BP=AB時(shí)，
以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作⊙B，交y軸于點(diǎn)P，
當(dāng)P在x軸上方時(shí)，
此時(shí)OP=OB+BP=6+10=16，
當(dāng)P在x軸下方時(shí)，
此時(shí)OP=BP-OB=10-6=4，
∴P（0，4）或（0，16）
當(dāng)AP=AB時(shí)，
以A為圓心，AB為半徑作⊙A，交y軸于點(diǎn)P，
此時(shí)點(diǎn)B與P關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴P（0，-6）
綜上所述，P的坐標(biāo)為：（0，-$\frac{7}{3}$），（0，4），（0，16），（0，-6）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的判定與坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作出圖形，本題屬于中等題型．