Question

7．△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在AB邊上有一個動點P，連接PC，作B關于PC的對稱點B₁，則AB₁的最小值是7，當AB₁取到最小值時，CP=$\frac{60}{17}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 因為B₁的變化軌跡是以C為圓心，CB為半徑的圓上，所以當B₁在AC上時，AB₁最小，作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，首先證明四邊形MCNP是正方形，設邊長為a，再根據(jù)$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$•AC•PN+$\frac{1}{2}$•BC•PM，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：因為B₁的變化軌跡是以C為圓心，CB為半徑的圓上，所以當B₁在AC上時，AB₁最小，此時AB₁=12-5=7，
作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，
∵∠PCA=∠PCB，
∴PM=PN，
∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°，
∴四邊形MCNP是矩形，
∵PM=PN，
∴四邊形MCNP是正方形，設邊長為a，
則有$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$•AC•PN+$\frac{1}{2}$•BC•PM，
∴30=$\frac{1}{2}$×12×a+$\frac{1}{2}$×5×a，
∴a=$\frac{60}{17}$，
∴PC=$\sqrt{2}$CM=$\frac{60}{17}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查軌跡，對稱變換、勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用面積法求有關線段，屬于中考�？碱}型．