Question

2．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，⊙O的圓心O在△ABC內(nèi)部，且經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，若OA=1，則⊙O的半徑為（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{13}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過(guò)O作OD⊥BC，由垂徑定理可知BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的長(zhǎng)，在Rt△OBD中利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)即可．

解答 解：過(guò)O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一條弦，且BC=6，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，即A，O及D三點(diǎn)共線，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=3-1=2，
在Rt△OBD中，OB=$\sqrt{B{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．