Question

20．如圖，AB為半圓O的直徑，點C是OA的中點，CD⊥OA交半圓O于點D，點E是$\widehat{BD}$的中點，過點D作DP∥AE交BA的延長線于點P．求證：
（1）四邊形PAED是平行四邊形；
（2）PD是半圓O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CO與DO的數(shù)量關(guān)系，即可得出∠CDO的度數(shù)，進而求出∠AOD=60°，∠BOD=120°，∠AED=30°，點E是$\widehat{BD}$的中點，進而求出∠EAB=30°，即∠BAE=∠AED，得出ED∥AP，即可證得結(jié)論；
（2）利用點E是$\widehat{BD}$的中點，進而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．

解答 （1）解：連接OD、OE，
∵AB是半圓的直徑，點O是圓心，點C是OA的中點，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=120°，∠AED=30°，
∵點E是$\widehat{BD}$的中點，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AED，
∴ED∥AP，
∵DP∥AE，
∴四邊形PAED是平行四邊形；

（2）證明：如圖，∵點E是$\widehat{BD}$的中點，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直線PD為⊙O的切線．

點評 此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定理和切線的判定定理等知識，根據(jù)已知得出∠AFO=90°是解題關(guān)鍵．