Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC²=PE•PO．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由PC²=PE•PO和公共角可判斷△PCE∽△POC，則∠PEC=∠PCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線；
（2）設(shè)OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，證明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，則可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∵PC²=PE•PO，
∴PC：PO=PE：PC，
而∠CPE=∠OPC，
∴△PCE∽△POC，
∴∠PEC=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，
∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，
∴△OCE∽△OPC，
∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，
∴3x+6=9x，解得x=1，
∴OC=3，
即⊙O的半徑為3．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了切線的判定方法．