Question

2．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4cm，∠BAC=90°，O為邊BC上一點(diǎn)，OA=OB=OC，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持AN=BM．
（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM與ON相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM與ON垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形AMON的面積是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，求出四邊形AMON的面積．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠B=∠CAO，從而用SAS得出△AON≌△BOM，即可得出結(jié)論；
（2）由△AON≌△BOM，得出∠NOA=∠MOB，再用互余即可得出結(jié)論；
（3）直接用面積的和判斷出S_{四邊形AMON}=S_△AOB，再求出三角形AOB的面積即可．

解答 解：（1）相等，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵OA=OB=OC，
∴∠BAO=∠CAO=45°，∠AOB=∠AOC=90°，
∴∠B=∠BAO=∠CAO，
在△AON和△BOM中$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠B=∠CAO}\\{BM=AN}\end{array}\right.$
∴△AON≌△BOM，
∴ON=OM，
（2）垂直，
由（2知，△AON≌△BOM，
∴∠NOA=∠MOB，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠NOA+∠AOM=90°，
∴ON⊥OM，
（3）不變，
由（1）知，△AON≌△BOM，
∴S_△AON=S_△BOM，
∴S_△AON+S_△AOM=S_△BOM+S_△AOM，
∴S_{四邊形AMON}=S_△AOB，
∴S_{四邊形AMON}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是△AON≌△BOM．