Question

1．（一）實踐與操作
第一步：取一張正方形紙片ABCD，按圖1對折，得折痕EF，攤開展平；
第二步：將B點折到EF上B′，如圖2．

（二）解決問題
（1）如圖3，連接BB′，試判定△ABB′的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖4，連接AC，交BB′于P，作PQ⊥AB于Q，若AB=2，求PQ．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)，推得AB'=AB；然后根據(jù)EF是AB的垂直平分線，B'是EF上的一點，推得AB'=BB'，據(jù)此可得AB'=BB'=AB，所以△ABB'是等邊三角形，據(jù)此判斷即可．
（2）首先根據(jù)四邊形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的對角線，PQ⊥AB，推得△APQ是等腰直角三角形；然后根據(jù)△ABB'是等邊三角形，可得∠ABP=60°；最后設(shè)BQ=x，則AQ=PQ=$\sqrt{3}x$，根據(jù)AQ+BQ=AB，求出x的值是多少，進(jìn)而求出PQ的值是多少即可．

解答 （1）證明：由折疊的性質(zhì)，可得AB'、AB關(guān)于AM對稱，
∴AB'=AB，
∵EF是AB的垂直平分線，B'是EF上的一點，
∴AB'=BB'，
∴AB'=BB'=AB，
∴△ABB'是等邊三角形．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的對角線，PQ⊥AB，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∵△ABB'是等邊三角形，
∴∠ABP=60°，
設(shè)BQ=x，
則AQ=PQ=$\sqrt{3}x$，
∵AQ+BQ=AB，
∴$\sqrt{3}x+x=2$，
∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}-1$，
∴PQ=$\sqrt{3}（\sqrt{3}-1）=3-\sqrt{3}$．

點評 （1）此題主要考查了翻折變換（折疊問題），要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
（2）此題還考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．