Question

8．如圖所示，⊙O中AB和AC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線EF交AC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q，那么△APQ是什么三角形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 △APQ是等腰三角形．連接AE、AF，構(gòu)建相似三角形--△AEQ∽△FAP，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和等角的補(bǔ)角相等推知∠AQP=∠APQ，故△AQP為等腰三角形．

解答 解：△APQ是等腰三角形，理由如下：
如圖，連接AE、AF．
∵E、F分別是弧AB、AC的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，$\widehat{AF}$=$\widehat{CF}$，
∴∠EAQ=∠AFP，∠AEQ=∠FAP，
∴△AEQ∽△FAP，
∴∠FPA=∠AQE，
∴∠AQP=∠APQ（等角的補(bǔ)角相等），
∴△AQP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．
正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系，三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．