Question

19．如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，連接其對邊中點，得到四個矩形，順次連接矩形AEFG各邊中點，得到菱形I₁；連接矩形FMCH對邊中點，又得到四個矩形，順次連接矩形FNPQ各邊中點，得到菱形I₂；…如此操作下去，得到菱形I_n，則I_n的面積是（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab．

Answer 1

分析 利用菱形的面積為兩對角線乘積的一半，得到菱形I₁ 的面積，同理可得菱形I₂的面積，根據(jù)規(guī)律可得菱形I_n的面積．

解答 解：由題意得：菱形I₁ 的面積為：$\frac{1}{2}$×AG×AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}b$=（$\frac{1}{2}$）³•ab；
菱形I₂的面積為：$\frac{1}{2}$×FQ×FN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}a$）×（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$b）=（$\frac{1}{2}$）⁵•ab；
…，
∴菱形I_n的面積為：（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab，
故答案為：（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab．

點評 本題主要考查了菱形面積的計算和規(guī)律的歸納，利用菱形的面積為兩對角線乘積的一半，是解答此題的關鍵．