Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求證：∠PNM=2∠CBN；
（2）求線段AP的長．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根據(jù)角的和差不難得出結(jié)論；
（2）連接AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根據(jù)等角對等邊得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）連接AN，
根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN=∠CBN，
∵M(jìn)N∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，
∴DN=2，
設(shè)AP=x，則PD=6-x，
在Rt△PDN中
PD²+DN²=PN²，
∴（6-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{10}{3}$
所以AP=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用，難度不大，根據(jù)角的倍差關(guān)系得到∠PAN=∠PNA，發(fā)現(xiàn)AP=PN是解決問題的關(guān)鍵．