Question

14．已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB上的點
（1）如圖1，若BE平分∠CEF，求證CE+AF=EF；
（2）如圖2，若BF平分∠ABE，求證：CE+AF=BE；
（3）如圖3，若∠EBF=∠ABF+∠CBE，BC=6，BE=3$\sqrt{5}$，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）要證明CE+AF=EF，只要作BM⊥EF，連接BF，構(gòu)造出合適的三角形，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等，進(jìn)而得到邊相等，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化即可證得結(jié)論成立；
（2）要證明CE+AF=BE，要作輔助線延長DC到點H，使得CH=AF，然后根據(jù)題目中的條件進(jìn)行靈活變化即可證得結(jié)論成立；
（3）要求BF的長，可以做出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似，可以求得BF的長．

解答 （1）證明：作BM⊥EF于點M，連接BF，如由圖1所示，
∵BE平分∠CEF，BC⊥CE，BM⊥EF，
∴BC=BM，∠BCE=∠BME=90°，
∵BE=BE，
∴△BCE≌△BME（HL），
∴CE=EM，
∵∠BMF=∠BAF=90°，BF=BF，BM=BA，
∴△BMF≌BAF（HL），
∴AF=MF，
∵EF=EM+MF，
∴CE+AF=EF；
（2）證明：延長DC到點H，使得CH=AF，如由圖2所示，
∵BA=BC，∠BAF=∠BCH=90°，AF=CH，
∴△BAF≌△BCH（SAS），
∴∠ABF=∠CBH，
∵∠CBH+∠CHB=90°，∠CBE+∠EBF+∠ABF=90°，BF平分∠ABE，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠HBC+∠CBE+∠ABF=90°，
∴∠CBH+∠HBE=90°，
∴∠CHB=∠HBE，
∴BE=EH，
∵EH=CE+CH，CH=AF，
∴CE+AF=BE；
（3）連接BD，作EM⊥BD于點M，如圖3所示，
∵BC=6，BE=3$\sqrt{5}$，∠BCE=90°，
∴CE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}=3$，
∴DE=6-3=3，
∵EM⊥BD，∠BDE=∠DBC=45°，
∴EM=DM=DE•sin45°=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=CD=6，∠BCD=90°，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴BM=$6\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵∠EBF=∠ABF+∠CBE，∠MBE+∠CBE=45°，∠ABC=∠EBF+∠ABF+∠CBE=90°
∴∠ABF+∠CBE=∠MBE+∠CBE=45°，
∴∠ABF=∠MBE，
∵∠BAF=∠BME=90°，
∴△ABF∽△MBE，
∴$\frac{AB}{MB}=\frac{BF}{BE}$，
即$\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{BF}{3\sqrt{5}}$，
解得，BF=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查四邊形綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和三角形相似、全等的知識進(jìn)行解答．