Question

1．如圖，點(diǎn)B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)C在雙曲線y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
（1）填空：k=9；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把B點(diǎn)代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可求得k的值；
（2）過C作CM⊥x軸，過B作BN⊥x軸，可證明△ACM≌△BAN，結(jié)合B點(diǎn)坐標(biāo)則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得OA的長，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)D（x，0），由C點(diǎn)坐標(biāo)，則可分別表示出CO、CD和OD，分CO=CD、CO=OD和CD=OD三種情況，分別得到關(guān)于x的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×3=9，
故答案為：9；
（2）∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
設(shè)MC=a，OM=b，
∵C在y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，
∴-ab=-4，即ab=4．
分別過點(diǎn)B、C作BN⊥x軸于N，CM⊥x軸于M，如圖，

則∠CMA=∠ANB=90°，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠BAN=90°，
∴∠ACM=∠BAN．
在△ACM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠BAN}\\{∠CMA=∠ANB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=3，MC=AN=a，
∴OA=3-a，即AM=b+3-a=3，
∴a=b，
∵ab=4，
∴a=b=2，
∴OA=3-2=1，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）；
（3）設(shè)D（x，0），則OD=|x|，
由（2）可知C（-2，2），
∴OC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（x+2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$，
∵△OCD為等腰三角形，
∴有CO=CD、CO=OD和CD=OD三種情況，
①當(dāng)CO=CD時(shí)，則2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$，解得x=0（舍去）或x=-4，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；
②當(dāng)CO=OD時(shí)，則2$\sqrt{2}$=|x|，解得x=2$\sqrt{2}$或x=-2$\sqrt{2}$，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）；
③當(dāng)CD=OD時(shí)，則$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$=|x|，解得x=-2，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）；
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）或（2$\sqrt{2}$，0）或（-2$\sqrt{2}$，0）或（-2，0）．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，在（2）中構(gòu)造三角形全等求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，表示出OD、CD和OC的長，得到關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．