Question

7．如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B、C、D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：
①BM=BC；②BM⊥DM；③tan∠AEC=$\frac{CD}{BC}$；④S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．
其中正確的結(jié)論有②④．（填寫正確結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

分析 ①②通過作輔助線MN，構(gòu)建直角梯形的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．③根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及△ABC∽△CDE的對(duì)應(yīng)邊成比例知，$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$；然后由直角三角形中的正切函數(shù)，得tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，再由等量代換求得tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$；④由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab（a=b時(shí)取等號(hào)）解答．

解答 解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°，
∵△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$，
①過點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點(diǎn)，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM≠BC．
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②又MN=$\frac{1}{2}$（AB+ED）=$\frac{1}{2}$（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM．
故本選項(xiàng)正確；
③∴tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，
∴tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$．
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，S_△CDE=$\frac{1}{2}$b²，S_梯形ABDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥ab（a=b時(shí)取等號(hào)），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．
故本選項(xiàng)正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)．熟悉銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，特別是不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab（a=b時(shí)取等號(hào)）是解決問題的關(guān)鍵．