Question

7．如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞直角頂點(diǎn)BB順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則PB：P′A的值為1：2．

Answer 1

分析 如圖，連接AP，構(gòu)建全等三角形：△ABP≌△CBP′（SAS），由該全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AP=P′C；如圖，連接PP′，結(jié)合已知條件可以推知△APP′是直角三角形，所以由勾股定理來求相關(guān)線段的長度即可．

解答 解：如圖，連接AP，
∵BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BP=BP′}\\{∠ABP=∠CBP′}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設(shè)P′A=x，則AP=3x，
根據(jù)勾股定理，PP′=$\sqrt{A{P}^{2}-P′{A}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故答案是：1：2．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的難點(diǎn)．