Question

18．如圖，AB，CD是圓O的直徑，且AB⊥CD，P為CD延長線上一點，PE切圓O于E，BE交CD于F，AB=6cm，PE=4cm，則EF的長為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$cm．

Answer 1

分析 連接OE，可求得∠PEF=∠PFE，可求得PF，在Rt△OBF中由勾股定理可求得BF，再利用相交弦定理可求得EF的長．

解答 解：
如圖，連接OE，
∵∠PEF=90°-∠OEB=90°-∠OBE=∠OFB=∠EFP，
∴PF=PE=4，
在Rt△OPE中，由勾股定理可得OP²=PE²+OE²，
∴OP²=3²+4²=25，解得OP=5cm，
∴OF=OP-PF=5-4=1（cm），DF=OD-OF=2cm，CF=OF+OC=4cm，
在Rt△OBF中，由勾定理可得BF²=OB²+OF²，
即BF²=3²+1²=10，
∴FB=$\sqrt{10}$cm，
又由相交弦定理可知BF•EF=CF•DF，
∴EF=$\frac{4×2}{\sqrt{10}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$cm，
故答案為：$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查切線的性質及垂徑定理，證得PE=PF是解題的關鍵．