Question

3．如圖，已知直線l₁：y=3x+1和直線l₂：y=mx+n交于點P（-2，a），根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）求a的值，判斷直線l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m是否也經(jīng)過點P？請說明理由；
（2）若l₁與y軸交于點A，若l₂與x軸交于點B，S_△ABP=10，求直線l₂的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 （1）把點P的坐標代入直線l₁：y=x+1，計算即可求出a的值，把點P坐標代入直線l₂，得到關于m、n的等式，再把點P代入直線l₃，如果得到同樣的m、n的關系式，則點P在直線l₃上，否則不在．
（2）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征確定A點坐標為（0，1），C點坐標為（-$\frac{1}{3}$，0），B點坐標為（-$\frac{n}{m}$，0），然后根據(jù)三角形面積公式和S_△PAB=S_△PCB+S_△ABC=10以及-2m+n=-5，即可求得m、n的值．

解答 解：（1）∵點P（-2，a）在直線l₁上，
∴-6+1=a，
解得a=-5，
∴點P（-2，-5），
∵點P（-2，-5）在直線l₂：y=mx+n上，
∴-2m+n=-5，
當x=-2時，直線l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m=-2m+n=-5，
所以直線l₃：y=-$\frac{1}{2}$nx-2m也經(jīng)過點P（-2，5）．
（2）把y=0代入y=3x+1得3x+1=0，解得x=-$\frac{1}{3}$，則l₁與x軸交于點C為（-$\frac{1}{3}$，0），
把x=0代入y=3x+1得y=1，則A點坐標為（0，1），
把y=0代入y=mx+n得mx+n=0，解得x=-$\frac{n}{m}$，則B點坐標為（-$\frac{n}{m}$，0），
∴S_△PAB=S_△PCB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{n}{m}$+$\frac{1}{3}$）×5+$\frac{1}{2}$××（-$\frac{n}{m}$+$\frac{1}{3}$）×1=10．
∴-$\frac{n}{m}$=3，
∵-2m+n=-5，
∴m=-1，n=3，
∴的函數(shù)表達式為：y=-x+3．

點評 本題考查了兩直線相交的問題，一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，以及點在直線上的判斷，把交點P的坐標代入直線l₁求出a的值是解題的關鍵．