Question

11．如圖所示，已知A（$\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）為反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在x軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　�。�

• A． $（{\frac{5}{2}，0}）$
• B． （3，0）
• C． $（{\frac{7}{2}，0}）$
• D． （4，0）

Answer 1

分析 先求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：∵把A（ $\frac{1}{2}$，y₁），B（2，y₂）代入反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$得：y₁=2，y₂=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，2），B（2，$\frac{1}{2}$）．
在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{1}{2}a+b}\\{\frac{1}{2}=2a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式是y=-x+$\frac{5}{2}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{5}{2}$，即P（$\frac{5}{2}$，0）；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置．